Funciónes polinomiales

 Funciónes polinomiales de grado (0,1,2,3 y 4)

función polinomial de grado cero

La función constante (grado cero) es la función polinomial más simple. Su expresión general es:

f(x) = a0x0 = a0(1) = a

Se sabe que toda cantidad elevada a la potencia cero es uno, es decir x0 = 1.

Dado que a0 es un número real constante, suele expresarse con la letra c. Así, la expresión de la función constante más común es:

f(x) = c

Analicemos la expresión anterior. El polinomio que define a esta función tiene a la variable x con exponente cero, de modo que su grado es cero. En la función constante se expresa una relación de correspondencia entre los valores de la variable y el valor c, de modo que, para cada valor de x en el intervalo siguiente, el valor obtenido por la función es c.

Las funciones polinomiales describen en un plano cartesiano gráficas dependiendo del grado al que pertenezcan.

del grado al que pertenezcan.

A partir de esto, deducimos que todos los puntos de la gráfica de la función constante están definidos por la expresión (x, c) y, consecuentemente, a la misma altura respecto del eje X, dando lugar a una recta horizontal (paralela al eje X), que corta al eje Y a la altura de y = c, como gráfica de la función en el plano cartesiano.

Si c = 0, la recta es el eje X del plano cartesiano. Entonces, la ecuación del eje X es f(x) = 0.

Figura 3.3 Gráfica de la función constante f(x) = c.

Si c = 0, la función f(x) = 0 representa al eje X del plano cartesiano

Observa la forma según su grado:

Las de grado cero como f(x)=2, son rectas

horizontales;

Las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas

oblicuas;

Las de grado dos, como f(x)=2x2+4x+3, son

parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.

 

:NOTA:

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos

FUNCIONES DE GRADO 0:



  La formula de la funcion de grado 0 es la siguiente: F(x)= a

por ejemplo:

 𝑓 𝑥 =7. Es de grado cero, se le conoce como función constante.

 

FUNCION DE GRADO 1:

 

La formula de la funcion de grado 1 es.. F(x)=ax+b



 

^Termino Independiente. En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje OY o eje de ordenadas, es el punto [0, f(0)], por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas. En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas

La grafica de f(x)=ax+3 corta en (3,0)

^Termino Pendiente. Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y ésta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta

La pendiente de la recta f(x)=ax+b es "a"

 

He aqui un ejemplo de lo aterior:

 

 

FUNCION DE GRADO 2:La parábola f(x)=ax^2+bx+c

 

f(x)= ax^2

 La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical. Observa en la figura cómo se construye la gráfica de f(x)=a·x2 y como cambia según los valores y el signo de a.

Es simétrica respecto al eje OX.

El signo de a determina la concavidad de la gráfica.

• Si a>0, tiene un mínimo en (0,0)

• Si a<0 tiene un máximo en (0,0)

 

 

 

^Representar Funciones Cuadraticas: Para representar una función de segundo grado f(x)=ax2+bx+c comenzamos por colocar su vértice: [(2ab− , f(2ab− )]. Se dibuja el eje de simetría y a continuación hacemos una tabla de valores aumentando en una unidad el valor de x cada vez. Cuando tenemos algunos puntos dibujamos los simétricos. Al igual que en otras representaciones gráficas es interesante hallar los puntos de corte con los ejes.

El corte con el eje 0y es c

Los cortes con el 

eje 0x son las soluciones de la ecuacion

 ax^2+bx+c

Función polinomial grado 2

Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces. Para que y=0 se requiere que x^3 = 0. En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero. El único número que satisface la condición anterior es x=0. Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales. El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo alcubo es positivo también.

Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho. Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos. La gráfica de la función se muestra a continuación

Función polinomial de tercer grado

La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

  \begin{equation*} y = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{equation*}

donde a_3 \neq 0. La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.

Función polinomial grado 4 

El dominio de un polinomio de grado 

4

4 es el conjunto de los números reales.

Como se mencionó anteriormente, encontrar el rango de una función polinomial de grado 

4

4 se traduce a encontrar el mínimo o el máximo de la función 

𝑓

f. Más adelante aprenderás a obtener el máximo y mínimo de una función, por lo pronto, nos enfocaremos en obtener una aproximación del máximo o del mínimo a partir de la gráfica de 

𝑓

f. A continuación, se proporcionará una breve explicación de por qué el rango de una función polinomial de grado 

4

4, 

𝑓

(

𝑥

)

=

𝑎

𝑥

4

+

𝑏

𝑥

3

+

𝑐

𝑥

2

+

𝑑

𝑥

+

𝑒

f(x)=ax 

4

 +bx 

3

 +cx 

2

 +dx+e es 

[

𝑚

,

∞

)

[m,∞) cuando 

𝑎

>

0

a>0, o bien, 

(

−

∞

,

𝑀

]

(−∞,M] cuando 

𝑎

<

0

a<0, donde 

𝑚

m y 

𝑀

M son el mínimo y el máximo de 

𝑓

f.

El valor del término 

𝑎

𝑥

4

ax 

4

  en el polinomio 

𝑓

(

𝑥

)

=

𝑎

𝑥

4

+

𝑏

𝑥

3

+

𝑐

𝑥

2

+

𝑑

𝑥

+

𝑒

f(x)=ax 

4

 +bx 

3

 +cx 

2

 +dx+e será mucho más grande que el resto de los términos cuando 

𝑥

x toma valores muy grandes. Esto significa que, cuando el valor de 

𝑥

x aumente al infinito el valor de la función será muy parecido al de 

𝑎

𝑥

4

ax 

4

 . Si 

𝑎

<

0

a<0, el término 

𝑎

𝑥

4

ax 

4

  tiende a menos infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que la función. Por otro lado, si 

𝑎

>

0

a>0, el término 

𝑎

𝑥

4

ax 

4

  tiende a infinito en ambos extremos de la gráfica, al igual que

 la función. La siguiente figura muestra cómo se comporta la gráfica de 

𝑓

f en los extremos, aunque falta saber qué pasa en medio.